Problem med lösningar


Här på linearalgebra.se så publiceras en hel del problem med lösningar. En del av dessa problem kommer att användas för att ni själva ska testa er förståelse för ett visst avsnitt. Vi har utformat problemstrukturen så att man får se problemformuleringen medan lösningen är dold. Ni rekommenderas att alltid försöka lösa problemet utan att titta på lösningen. Men sedan kan man klicka vidare för att öppna lösningen.


Problem :: 2x2 ekvationssystem

Lös ekvationssytemet \begin{eqnarray} 2x+ 3y & = & 1 \\ 4x-2y & = & 1 \end{eqnarray}


Problem :: 2x2 sammanfallande linjer

Lös systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right] \]


Problem :: 3x3 ekvationssystem

Lös ekvationssystemet \begin{eqnarray*} -x+3y+z & = & 2 \\ 2x+2y+z & = & 3\\ -3x+y+z & = & -1 \end{eqnarray*}


Problem :: 3x3 matrissystem

Lös ekvationssystemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: 3x3 system

Lös ekvationssystemet \begin{eqnarray*} x+y+3z & = & 1 \\ x-2y+z & = & -1\\ 2x+y+2z & = & -2 \end{eqnarray*}


Problem :: Anpassa andragradskurva till mätpunkter

Beräkna det andragradspolynom på formen \(y=ax^2+b\) som bäst anpassar sig till punkterna som ges av matrisen \[ \mathbf{a}= \left[ \begin{array}{cc} -4 & 3 \\ -2 & -1 \\ 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \]


Problem :: Är detta system konsistent

Beräkna alla lösningar till systemet \[ \left[ \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: avstånd mellan två linjer

Beräkna avståndet mellan de två linjerna \[ \begin{split} L_1(s) &=(3,2,0)s +(1,-1,1)\\ L_2(t) &=(-1,1,1)t+(2,1,-1) \end{split} \]


Problem :: Avståndet mellan två punkter

Beräkna avståndet mellan punkterna \(p=(4,1)\) och \(q=(7,-3)\).


Problem :: b för konsistens

Bestäm \(b\) så att följande system har lösningar \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -2 & b \\ -2 & 4 & 3 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: Basbyte

Kolonnerna i matriserna \(A\) och \(B\) är två baser i \(\mathbb{R}^3\) \[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right]\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad \] Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen \(B\) till koordinatvektorer uttryckta i basen \(A\). Speciellt: Uttryck koordinatvektorn (index indikerar att vektorn är uttryckt i basen \(B\)) \([1,2,3]_B\) med hjälp av basen \(A\).


Problem :: Beräkna determinanten med blandade metoder.

Beräkna determinanten till matrisen genom att göra en blandning av determinantberäkningarna. \[ M\left[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right] \] Detta exempel finns också i Determinant kompendiet avsnitt 1.1.4


Problem :: beroende eller oberoende

Är vektorerna \(\mathbf{v}_1=(1,2,-1,2)\), \(\mathbf{v}_2=(2,-1,1,1)\) och \(\mathbf{v}_3=(1,-1,1,1)\) linjärt beroende eller oberoende? Ge ett villkor som garanterar att vektorn \(\mathbf{b}=(x,y,z,w)\) ligger i spannet/linjära höljet till vektorerna.


Problem :: Diagonaliserbar?

Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen \[ \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\-3 & 5 & 2\end{array}\right] \] Är matrisen diagonaliserbar?


Problem :: Diagonalisering av kvadratisk ekvation

(Detta är uppgift 14 på övningstenta ht2015-1) Följande kvadratiska ekvation definierar en ellips vars centrum inte ligger i origo. \[ 5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt{5}x-16\sqrt{5}y+4=0 \] Beräkna ett basbyte tillsammans med en translation till ellipsens centrum och skriv ellipsen i de nya basvektorerna relativt ellisens centrum. Ange också \((x,y)\)-koordinaterna för ellipsens centrum. Hint :: diagonalisera den kvadratiska formen}


Problem :: egenvärden och egenvektorer

  1. Hitta egenvärden och egenvektorer till \[A= \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\]
  2. Är A diagonaliserbar?


Problem :: Eliminationsövning

Eliminera \(x\) från andra och tredje ekvationen för följande system \begin{align*} x-y+z &=2 \\ 3x+2y-z &=1 \\ 5x+y-3z &=-1 \end{align*}


Problem :: Eliminationsuppgift

Lös ekvationssystemet genom att eliminera \(x\) \begin{align*} x+2y &=2 \\ 3x-y & =-1 \end{align*}


Problem :: En uppgift om basbyte

Vi har baserna \(\mathcal{A}\) och \(\mathcal{B}\), givna som kolonnerna till matriserna \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{array} \right] \qquad\text{ respektive }\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right] \] Beräkna matrisen \(\underset{\scriptstyle B\leftarrow A}{P}\) som överför vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{A}\) till vektorer uttryckta i basen \(\mathcal{B}\). Vad blir vektorn \([v]_{\mathcal{A}}=[1,2,1]^T_{\mathcal{A}}\) uttryckt i basen \(\mathcal{B}\)?


Problem :: flera fria variabler

Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & -1 \\ -2 & 4 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -2 & 1 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: fria i radreducerat system

Hitta ledande och fria variabler för det radreducerade systemet. \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -3 & 3 \\0 & 1 & 1/2 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Skriv upp parameterlösningen.


Problem :: fria och ledande variabler

Identifiera ledande och fria variabler för systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c}-2 & 3 & 7 & 11 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \]


Problem :: Gaussmaskin i aktion

Utför Gaussellimination till matrisen \[ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\2 & -1 & 1 \\1 & -2 & -1\end{array}\right] \] (utan reduktion/återsubstitution) och använd radoperationerna för att ta fram värden \(t_1, t_2\) och \(t_3\) så att % \begin{equation} t_1\mathbf{r}_1+t_2\mathbf{r}_2+t_3\mathbf{r}_3=0 \end{equation} % Är matrisens radvektorer beroende eller oberoende? Hur ser man detta direkt från den Gausseliminerade matrisen?


Problem :: Inkonsistent system.

Eliminera \(x\) och sedan \(y\) från de resulterande två sista ekvationerna. \begin{align*} x-y-z &=1 \\ 2x-y-z &=1 \\ -3x+2y+2z &=1 \end{align*} Har systemet lösning?


Problem :: klassificering av kägelsnitt

Följande ekvation beskriver ett kägelsnitt: % \[ x^2+xy+y^2=1. \] % Vilken sorts kägelsnitt är det fråga om? Hitta en rotation som eliminerar den blandade termen \(xy\).


Problem :: Koordinatvektorer är vektorer.

En vektor är något som har längd och riktning. Visa att koordinatvektorn \((1,1,3)\) är en vektor genom att beskriva dess längd och dess riktning, m.a.p ett lämpligt koordinatsystem.


Problem :: ledande och fria variabler

Hitta ledande och fria variabler för det radreducerade systemet. \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] Skriv upp parameterlösningen.


Problem :: Linjär regression, anpassning av en linje till mätpunkter

Beräkna den linje som, i minsta kvadratmening, bäst anpassar sig till punkterna \[ (-1,1),\ (0,2),\ (1,0),\ (2,2),\ (3,2) \]


Problem :: Lösning av AX=B på två sätt

Givet en matrisekvation \(AX=B\) där alla matriser är kvadratiska och har samma format så kan vi tänka oss att lösa denna genom att först beräkna inversen till \(A\) och sedan multiplicera båda led med denna från vänster. Men på samma sätt som vi beräknar inversen kan vi använda oss av Gauss-Jordan elimination av den utvidgade matrisen \((A|B)\). När vi utfört Gauss-Jordan har vi den utvidgade matrisen \((I | A^{-1}B)\). Om vi kontemplerar detta kan vi se att detta leder till en arbetsbesparing. Med samma operationer som vi beräknar \(A^{-1}\) får vi här den ihopmultiplicerade matrisen vilket är färre operationer än att först beräkna inversen och sedan utföra ihopmultiplikationen. Och detta kan användas i varje situation där vi har matriser \(A\) och \(B\) och är intresserade av produkten \(A^{-1}B\). Känn efter själva. Nedan ges två matriser \(A\) och \(B\). Beräkna \(A^{-1}B\) genom

  1. att först beräkna \(A^{-1}\) och sedan utföra matrismultiplikationen
  2. Genom att Gauss-Jordaneliminera den utvidgade matrisen \((A | B)\)
\[A= \begin{pmatrix} 1&-2 &2 \\ 1 &1 &0 \\ 1& 0&1 \end{pmatrix},\quad B= \begin{pmatrix} 3&2 &-2 \\ 5 &1 &2 \\ -2& 7&1 \end{pmatrix} \]


Problem :: Lösning av matrisekvation

Lös ekvationen \(AX+B=C\) där \[ A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 3\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\2 & 3 \\2 & 1\end{array}\right]\quad C=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\2 & 4 \\-1 & 3\end{array}\right] \]


Problem :: matrissystem

Lös systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}-3 & 1 & 1 \\3 & -1 & -1\end{array}\right] \]


Problem :: Minstakvadratanpassning av ellips

Beräkna den ellips på formen \[ ax^2+by^2=1 \] som bäst anpassar sig till punkterna \((1,2)\),\((0,3)\),\((-1,1)\),\((0,-1)\),\((1,1)\).


Problem :: Nollrum vs kolonnrum

Låt \[ u=\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\1 \\-3\end{array}\right],\quad\text{ och }\quad v=\left[\begin{array}{c}-5 \\3 \\-2\end{array}\right] \] och \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & -1 & 3 \\3 & 2 & 5 & 1 \\-3 & 1 & -2 & -4\end{array}\right] \]

  1. Bestäm om \(u\) ligger i nollrummet till \(A\) och om \(u\) kan ligga i kolonnrummet
  2. Avgör om \(v\) ligger i kolonnrummet till \(A\). Kan \(v\) ligga i nollrummet till \(A\)?


Problem :: Nollrum, kolonnrum och radrum som delrum

Betrakta följande \(3\times 4\)-matris :: \[ A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 2 \\1 & 2 & 1 & 2 \\1 & 2 & 2 & 1\end{array}\right] \] Om vi tolkar \(A\) som en avbildning \(A:U\to V\). Vad är \(U\) och vad är \(V\)?. Visa att \(Noll(A)\) och \(Row(A)\) är delrum av \(U\) och \(Col(A)\) ett delrum av \(V\). Beräkna \(Noll(A)\) och visa att detta rum är ortogonalt mot \(Row(A)\). Visa att \(b=(1,-1,1,-3)\) varken ligger i kolonnrummet eller i nollrummet. Ligger \(b\) i radrummet? Var ligger \(b\)?


Problem :: ON-bas mha Gram-Schmids metod

Låt \(W\) vara ett delrum av \(\mathbb{R}^4\) utrustad med basen \[ \mathcal{B}=\left\{ \left[\begin{array}{c}1 \\0 \\0 \\1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}3 \\1 \\0 \\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2 \\0 \\1 \\0\end{array}\right] \right\} \]

  1. Använd Gram-Schmidts ortonormeringsalgoritm för att få fram en ON-bas för \(W\)
  2. Använd ON-basen för att beräkna projektionen \(Proj_W \mathbf{v}\) av vektorn \(\mathbf{v}=(1,1,1,1)\) ned i delrummet \(W\).


Problem :: parameter för invers med determinant

Bestäm de värden på \(a\) som gör att följande matris är inverterbar \[ \left[ \begin {array}{ccc} 1&2&3\\ 3&a&2\\ 1&3a&2a \end {array} \right] \] Bestäm inversen till matrisen för det minsta positiva värdet på \(a\) som gör matrisen inverterbar.


Problem :: parameterberoende utan många lösningar

Bestäm talet \(a\) så att systemet \[ \left[\begin{array}{cc|c}1 & 2a & 1 \\2a & 1 & 0\end{array}\right] \]
1. har unik lösning
2. har oändligt många lösningar
3. har unik lösning.


Problem :: Rättfram inversberäkning

Beräkna inversen till matrisen \[A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: Sammanfallande linjeekvationer

Rita upp linjerna \(2x-y=1\) och \(-4x+2y=-2\) och hitta de punkter som ligger på båda linjerna. Eliminera \(x\) från motsvarande system \begin{align*} 2x-y &=1 \\ -4x+2y &=-2 \end{align*} Vad händer? Hur tolkar du det.


Problem :: singulär inkonsistens

Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: singulärt system med linjelösning

Lös systemet \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]


Problem :: span av en vektor är delrum

Låt \(v\) vara en vektor i ett vektorrum \(V\) och betrakta den mängd som denna vektor spänner upp: \[ W=Span\ {v}=\{w:w=kv, k\in\mathbb{R}\} \] Visa att \(W\) är ett delrum.


Problem :: System som beror av parameter.

Beräkna de värden på parametern \(c\) som gör att systemet \(A_8x=b\), där \[ A_8=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ -2 & c & 2 \\ -1 & -1 & c \\ \end{array} \right], \qquad b=\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right] \]

  1. har en unik, entydig lösning.
  2. har oändligt många lösningar
  3. saknar lösning


Problem :: T-20121101

Beräkna matrisen för den avbildning som först speglar alla vektorer i planet i \(x\)-axeln och sedan roterar vektorerna moturs \(\pi/2\). Identifiera vad denna avbildgningsmatris betyder geometriskt för vektorerna i planet.


Problem :: T-20130820

Matrisen för en spegling i en godtycklig linje genom origo kan beräknas genom att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera allt tillbaka,

Visa att detta stämmer i det fall vi vill spegla i linjen \(y=x\). Dvs, skriv matrisen för speglingen i \(y=x\), \(S\) i som en produkt av matriserna för rotation \(R_1\) medurs av linjen till \(x\)-axeln, \(S_x\) spegling i \(x\)-axeln samt rotation moturs tillbaka \(R_2\). Alla ingående rotations och speglingsmatriser skall anges samt den produkt som ger oss speglingsmatrisen för spegling i \(y=x\).

Bildtexten ska vara :: Dekonstruktion av Spegling i godtycklig linje genom origo: först roterar vi vinkeln \(\beta\) medurs, sedan speglar vi i \(x\)-axeln och slutligen roterar vi moturs med vinkeln \(\beta\)


Problem :: T-20140115

Givet en rät linje \(y=k x\) så vill vi beräkna matrisen till den avbilding som geometriskt är speglingen i denna linje. Denna spegling kan tolkas som sammansättningen av att först rotera linjen så att den sammanfaller med \(x\)-axeln, sedan spegla i \(x\)-axeln och slutligen rotera tillbaka till linjens ursprungliga position. Beräkna matrisen \(S_L\) som utför spegling i linjen \(y=\sqrt{3}\ x\), dvs spegling i den linje som har lutningskoeffecienten \(k=\sqrt{3}\).


Problem :: T-20150114 uppgift 3

Beräkna matriserna för följande operationer
a.) Rotationen \(R_{30}\) moturs med \(30°\).
b.) Speglingen \(S_y\) i \(y\)-axeln.
c.) Rotationen \(R_{-60}\) medurs med \(60°\)
d.) Den avbildning \(A\) som är resultatet av att vi först roterar \(30°\) moturs, sedan speglar i \(y\)-axeln och slutligen roterar \(60°\) medurs. Identifiera den resulterande avbildningen, vad betyder den geometriskt?


Problem :: Tre delrumsövningar

Vilka av följande delmängder av \(\mathbb{R}^3\) är delrum till \(\mathbb{R}^3\)?

  1. \(U=\{(a,b,1): a,b\in\mathbb{R}\}\).
  2. \(U=\{(0,0,c): c\in\mathbb{R}\}\)
  3. \(U=\{(a,b,c): a+2b-c=0, a,b,c\in\mathbb{R}\}\)


Problem :: två fria variabler

Lös systemet \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 2 \\-2 & 4 & -2 & -4 \\-1 & 2 & -1 & -2\end{array}\right] \]


Problem :: Uppgift om Basbyte

Kolonnerna i matriserna \(A\) och \(B\) är två baser i \(\mathbb{R}^3\) \[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right]\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \quad \] Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen \(B\) till koordinatvektorer uttryckta i basen \(A\). Speciellt: Uttryck koordinatvektorn\footnote{index indikerar att vektorn är uttryckt i basen \(B\)} \([1,2,3]_B\) med hjälp av basen \(A\).


Problem :: Verifiera och eliminera

Verifiera att \((x,y,z)=(1,2,-1)\) är en lösning till systemet \begin{align*} %\label{} 2x+y+3z &=1 \\ -x+y+2z &=-1 \\ x+y+z &=2 \end{align*} Utför operationer på ekvationerna så att först \(x\) och sedan \(y\) elimineras. Vad blir \(z\)? Börja med att byta plats på lämpliga ekvationer.