Undervisningsvideo



L1 vektorintro del 010


Videoinnehåll ::

Vad är en vektor? Vad är en punkt? Vad är en koordinatvektor?





L1 vektorintro 020


Videoinnehåll ::

Här lär man sig hur man adderar vektorer och hur man multiplicerar en vektor med ett tal (en så kallad skalär).





L1 vektorintro 030


Videoinnehåll ::

Viktigt begrepp :: Linjärkombination av vektorer. Linjärkombinationerna av två vektorer blir sammantaget ett plan. Detta ger oss planets parameterform.





L1 vektorintro 040


Videoinnehåll ::

Introduktion till skalärprodukten och hur den beräknas. Skalärprodukten används för att beräkna längden av vektorer





L1 vektorintro 050


Videoinnehåll ::

Skalärprodukten och vinkelbegreppet. Två vektorer är vinkelräta/ortogonala precis om skalärprodukten är noll





L1 vektorintro 060


Videoinnehåll ::

I denna video härleder vi ekvationen för ett plan utifrån idén att alla vektorer i ett plan är vinkelrät mot en och samma vektor (kallad planets normalvektor)





L2 Gaussintro 010


Videoinnehåll ::

Introduktion till Gausselimination: metoden som vi använder för att systematiskt lösa ett linjärt ekvationssystem.





L2 Gaussintro 030


Videoinnehåll ::

Exempel där vi löser ett system med två ekvationer och två obekanta.





L2 Gaussintro 040


Videoinnehåll ::

Här löses ett exempel på tre linjära ekvationer med tre obekanta.





L3 ledande och fria 032


Videoinnehåll ::

Introduktion till idén om ledande och fria variabler via ett exempel där man får många lösningar.





L3 Ledande och fria 033


Videoinnehåll ::

Exempel på Gausselimination där vi får många lösningar som vi skriver på parameterform.





L3 ledande och fria 033 extra


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel på ett system där man får två fria variabler och hur man hanterar och tolkar lösningarna till ett sådant.





L4 inkonsistens 010


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel som visar hur man hanterar system som är inkonsistenta, dvs som saknar lösningar. Det är viktigt att lära sig hur man kan identifiera dem i Gausseliminationsprocessen.





Linjärt beroende:: introduktion


Videoinnehåll ::

Utgående från begreppet linjärkombination så introduceras de viktiga begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende.





Linjärt beroende och Gausselimination


Videoinnehåll ::

Här introduceras principen:: Ett linjärt beroende kan alltid hittas med hjälp av Gausselimination.
Eller uttryckt på ett annat sätt:: Gausselimination är en maskin som hittar ett linjärt beroende om det finns ett linjärt beroende. Får man en nollrad vid Gausselimination så är raderna beroende!





Linjärt beroende/oberoende :: Definition


Videoinnehåll ::

I denna video går vi genom den formelladefinitionen av linjärt beroende/oberoende. Observera att eftersom linjärt beroende/oberoende definieras av en vektorekvation så står vektorerna som kolonner i ekvationens matris. Söker man beroende mha Gaussmaskinen så står vektorerna som rader.





Linjärt beroende/oberoende :: Exempel


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel som visar hur man avgör om ett antal vektorer är linjärt beroende eller oberoende. Notera att vi har två metoder:
1. Använd definitionen :: vektorerna står då som kolonner i matrisen.
2. Använd Gaussmaskinen :: vektorerna ställs då upp som rader i matrisen.





Linjär funktion


Videoinnehåll ::

Här går vi igenom vad som menas med en linjär funktion och visar att den representeras av en matris.





Linjär funktion exempel


Videoinnehåll ::

Exempel på hur man beräknar matrisen till en linjär funktion.





Linjär funktion :: exemplet spegling i x-axeln


Videoinnehåll ::

Spegling i x-axeln av tvådimensionella vektorer definieras geometriskt (man byter tecken på y-koordinaten). Här visas hur vi får fram matrisen till denna spegling.





Linjär funktion :: exempel 2


Videoinnehåll ::

En funktion genom att tala om hur den verkar på standardbasvektorerna. I detta exempel ser vi hur denna definition direkt ger oss matrisen för avbildningen.





Linjär Funktion :: Rotation med vinkeln alfa


Videoinnehåll ::

Rotation kring origo med en godtycklig vinkel \(\alpha\) är en linjär avbildning. Här visar vi hur vi får fram matrisen till denna rotation.





Sammansättning av avbildningar


Videoinnehåll ::

Sammansättning av avbildningar är att göra den ena avbildningen efter den andra. Eftersom linjära avbildningar representeras av matriser så kan leder sammansättningarna till en naturligt definierad multiplikation av matriserna.





Sammansättning exempel 2


Videoinnehåll ::

Detta exempel visar att man får räkna med att få olika resultat beroende på vilken av avildningarna som utföres först och vilken som utförs därefter. Detta leder till att matrismultiplikationen är icke-kommutativ: \[A\cdot B\neq B\cdot A\]





Introduktion till matrisprodukten


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi matrisprodukten så att vi lär oss hur man beräknar den. Principen för att beräkna matrisprodukten \(A\cdot B\) är att vänstra matrisens \(A\) rader multipliceras med den högra matrisens \(B\) kolonner. För att denna multiplikation ska vara möjlig att utföra (vara kompatibel) så behöver raden vara lika lång som kolonnen. Produkten rad och kolonn är precis skalär produkt. I denna video visas hur produkten definieras.





Matrisprodukt :: exempel 1


Videoinnehåll ::

I denna video ges ett exempel på hur man avgör om två matriser är kompatibla och hur man beräknar matrisprodukten.





Matrisprodukt exempel 2


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel som visar att trots båda matrisprodukterna \(A\cdot B\) och \(B\cdot A\) är definierade så blir produktmatrisernas format inte ens lika. De båda produkterna har i detta fall inte en chans att kunna bli lika.





L9 010 Inversidé utifrån division av tal.


Videoinnehåll ::

Matrisinvers kommer från att vi försöker skapa ett slags division för matriser. Pga att matrismultiplikation är ickekommutiv så går det inte använda bråksymbolismen utan vi behöver använda det alternativa skrivsättet \(A^{-1}\). En stor skillnad från algebran för tal är att många matriser (de flesta faktiskt) inte har invers.





L9 020 Inversidé utifrån division av tal, del 2


Videoinnehåll ::

Matrisinvers kommer från att vi försöker skapa ett slags division för matriser. Pga att matrismultiplikation är ickekommutiv så går det inte använda bråksymbolismen utan vi behöver använda det alternativa skrivsättet \(A^{−1}\). En viktig fråga är vilka matriser, om någon, har invers.





L9 030 Inversidé utifrån division av tal, del 3


Videoinnehåll ::

I denna tredje del om matrisinversen så visar vi hur vi löser matrisekvationen \(AX=I\) vars lösning (om det finns någon över huvud taget) \(X\) är inversen till \(A\). Om vi kan hitta en sådan matris så skriver man \(X=A^{-1}\). Resultatet från videon är en metod med vilken vi kan beräkna matrisen. Genom att använda metoden så kan man upptäcka om det går att hitta en invers.





L9 040 Matrisinvers :: exempel:: inversen till 2x2 matris


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel på hur man räknar ut inversen till en \(2\times 2\)-matris.





L9 050 Matrisinver :: exempel:: inversen till en 3x3-matris.


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel på hur man beräknar inversen till en \(3\times 3\)-matrix.





L10 010 Determinanten som ett villkor för Inversmatrisens existens.


Videoinnehåll ::

I denna video så härleder vi ett villkor för att en allmän \(2\times 2\) matris ska ha invers. Detta villkor kallar vi för determinanten.





L10 020 Determinantberäkning med Kofaktorutveckling.


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi determinantberäkning genom så kallad Kofaktorutveckling. Notera att man kan utveckla längs vilken rad eller vilken kolonn som helst. Om det finns många nollor i en viss rad eller i en viss kolonn så hjälper nollorna till att förenkla räkningarna om man väljer att utveckla längs raden med nollorna i.





L10 030 Exempel :: determinanten till en 3x3-matris.


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel där vi beräknar determinanten för två olika \(3\times 3\)-matriser. Notera att den andra matrisen har flera nollor i andra kolonnen. När vi kofaktorutvecklar längs denna kolonn får vi förenkling.





L10 040 Determinanträkning mha Sarrusregel:  Gäller bara 2x2 och 3x3 matriser.


Videoinnehåll ::

Sarrus regel är en snabbare metod att beräkna determinanten för en \(2\times 2\) eller \(3\times 3\) matris. Det är viktigt att vara medveten om att det inte går att använda metoden för att beräkna \(4\times 4\) matriser eller större.





L10 050 Determinantberäkning m.h.a. Gausselimination.


Videoinnehåll ::

Här visar vi hur man beräknar determinanten mha av Gausselimination. Eliminationen går ju ut på att skapa en triangulär matris med nollor nedanför huvuddiagonalen. Determinanten för en triangulär matris är produkten av diagonalelementen. Det är alltså lätt att beräkna determinanten av den Gausseliminerade matrisen. Frågan är nu vad determinanten för ursprungsmatrisen är. Kommer Gausselimineringsoperationerna att påverka determinanten och i så fall hur? Vi har att radbyte ger ett teckenbyte. Att multiplicera en rad med ett tal förändrar determinanten med detta tal som faktor. Men den vanligaste operationen: att addera en multippel av en rad till en annan rad förändrar inte determinanten. Genom att nogrannt bokföra varje operation som görs så går det att beräkna determinanten mha Gausselimination!





L11 010 Determinanten som area.


Videoinnehåll ::

Här visas att determinanten för en \(2\times 2\) matris kan tolkas som arean av det parallellogram som matrisens radvektorer spänner upp.





L11 020 Determinanten för en 3x3-matris beräknar en volym.


Videoinnehåll ::

Determinanten för en \(3\times 3\)-matris beräknar volymen av den parallellepiped som matrisens rader spänner upp.





L11 030 Kryssprodukten


Videoinnehåll ::

Kryssprodukten av två vektorer (i tre dimensioner) ger en ny vektor som är vinkelrät mot båda vektorerna. Detta är en mycket användbar produkt som förekommer mycket inom mekanik och annan fysik. Kryssprodukten definieras genom en speciell användning av determinanten.





L11 040 Kryssproduktens egenskaper.


Videoinnehåll ::

I denna video går vi genom några viktiga egenskaper för kryssprodukten.





L11 050 Exempel: kryssprodukten används för att beräkna ett plans ekvation.


Videoinnehåll ::

Givet ett plan på parameterform så kan man använda kryssprodukten för att beräkna detta plans ekvation.





L12 010 Introduktion till Vektorrum


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi vektorrum och vektorrumsaxiom. Notera att axiomen är de vanliga räknereglerna för vektorer. I denna kurs håller vi oss enbart till de ändligtdimensionella vektorrummen och dessa kan alltid identifieras med våra vanliga reella vektorrum. Men vektorrumsbegreppet inkluderar de mer avancerade funktionsrumen, som används bland annat inom signalbehandling när man t.ex. frekvensuppdelar en ljudsignal.





L12 020 Introduktion till del(vektor)rum


Videoinnehåll ::

Ett delrum (eller delvektorrum) är en delmängd till ett vektorrum som själv är ett vektorrum.





L12 030 Exempel på Delrum


Videoinnehåll ::

Här visar vi att ett plan genom origo är ett delrum medan ett plan som inte innehåller origo inte är ett delrum.





L13 010 Introduktion till delrum till en matris


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi Nollrummet, Radrummet och Kolonnrummet: tre delrum som hör ihop med en matris





L13 020


Videoinnehåll ::

Här introducerass begreppet bas via ett exempel





L13 030 Definition av begreppet bas


Videoinnehåll ::

Här definierar vi exakt vad vi menar med begreppet bas





L13 040 Hur man beräknar bas för rad och kolonnrum


Videoinnehåll ::

Här visar vi hur man konkret får fram baser för radrum och kolonnrum för en matris





L14-010 Om koordinatsystem och koordinatrum.


Videoinnehåll ::

Här ett exempel som visar hur samma vektor beskrivs med två olika baser : koordinaterna blir olika vilket innebär att koordinaterna för en vektor beror på vilken bas vi valt för vektorrummet.





L14-020 Koordinatbyte mellan en bas och standardbasen


Videoinnehåll ::

Hur man får fram basbytesmatrisen och hur den hjälper i ett konkret exempel





L14-030 Basbyte mellan två icke-standard baser


Videoinnehåll ::

Fråga :: Hur gör man för att byta en vektors koordinatbeskrivning m.a.p en (icke standard) bas till en annan (icke standard) bas? Svar :: Man gör en sammansättning via standardbasen.





L14-040 Ideer för ickestandardbasbyte


Videoinnehåll ::

Utveckling av genvägsmetod som innebär att man kan spara tid eftersom man slipper beräkna en matrisprodukt. Men, se upp, ordningen av matriserna är avgörande.





L14-050 Exempel på ickestandardbasbyte med genväg


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel som visar hur man praktiskt går till väga vid icke standardbasbyte, med den genvägsmetod som vi gick igenom i föregående video : Ideer för ickestandardbasbyte.





L15-010 Skalärprodukten och ON-baser


Videoinnehåll ::

Skalärprodukten, längd av vektorer, normering. Ortogonala baser





L15-020 Härledning av projektionsformeln


Videoinnehåll ::

Härledning av projektionsformeln som beräknar projektionen av en vektor i riktningen av en annan vektor. Eftersom den är väldigt användbar så är den en mycket viktig formel, projektionsformeln.





L15- 030 Projektion till delrum med ON-bas


Videoinnehåll ::

Här visas hur man gör för att projicera en vektor ned i ett delrum som har en ON-bas. Man projicerar vektorn på varje enskild ON-basvektor för sig och projektionen till delrummet får vi genom att summera de enskilda ON-bas-projektionerna.





L15-040 Gram Schmidts ortogonaliseringsmetod


Videoinnehåll ::

Gram-Schmidts metod hjälper oss att göra om en godtycklig bas till att bli en ON-bas.





L15-050 Gram-Schmidts metod :: Exempel


Videoinnehåll ::

Exempel på Gram-Schmidts metod som visar hur vi rent praktiskt kan arbeta för att göra om en delrumsbas till att bli en ON-bas för detta delrum.





L16 010 Minsta kvadratmetodens idé :: del 1


Videoinnehåll ::

Minsta kvadratmetodens idé: Härledning, del 1.





L16 020 Minsta kvadratmetodens idé :: del 2


Videoinnehåll ::

Härledning av minsta kvadratmetoden del 2





L16 030 Linjär regression, anpassning av rät linje till mätpunkter.


Videoinnehåll ::

Linjär regression: anpassning av en rät linje till mätdata.





L16 040 Minsta kvadratanpassning av ellips till mätdata


Videoinnehåll ::

Givet ett antal punkter så visar vi här hur vi med minsta kvadratmetoden kan hitta den ellips, centrerad i origo som bäst anpassar sig till dessa punkter.





L17 010 Introduktion till egenvärden och egenvektorer, del 1


Videoinnehåll ::

Introduktion till egenvektorer: del 1, vad är egenvärden och egenvektorer? Hur beräknar man egenvärdena - härledning av karakteristiska ekvationen.





L17 020 Introduktion till egenvärden och egenvektorer, del 2


Videoinnehåll ::

I del 1 studerade vi egenvärdena och del 2 tittar vi på hur man beräknar egenvektorerna som hör till egenvärdena.





L17 030 Exempel på Egenvektor-räkning.


Videoinnehåll ::

Exempel på egenvektorräkning part 1:: Här beräknas egenvärden och egenvektorerna.





L17 040 Exempel på Egenvektor-räkning, del 2


Videoinnehåll ::

I uppgift 1 hade vi en linjär avbildning med en matris där kolonnvektorerna är uttryckta i standardbasen. I denna del 2 så använder vi egenvektorerna för att bilda en ny bas. När vi uttrycker vår linjära avbildning med avseende på egenvektorbasen så får vi en diagonal matris som vi känner igen som spegling i x-axeln. Notera nu att denna x-axel ligger parallellt med den första av egenvektorerna.





L17 050 Exempel på Egenvektor-räkning, del 3


Videoinnehåll ::

I denna tredje del så sammanfattar vi vad vi gjort i de två tidigare delarna. Vi ser att genom att ställa upp egenvektorerna som kolonn i en matris så får vi en matris \(P\) som när vi multiplicerar med \(A\) på rätt sätt, så får vi en diagonalmatris \(D\) med egenvärdena på diagonalen: \(D=P^{-1}AP\). Vi har i detta exempel identifierat diagonalisering av matriser. Sammanställer vi detta så har vi diagonaliseringsalgoritmen ::

  1. Beräkna egenvärden
  2. För varje egenvärde, beräkna egenvektorerna
  3. Ställ upp egenvektorena i en matris \(P\)
  4. Diagonalmatrisen blir \(D=P^{-1}AP\)





L17 060 Exempel :: egenvärden och egenvektorer till en symmetrisk 3x3-matris


Videoinnehåll ::

Egenvärden och egenvektorer till en 3x3-matris där vi har tre olika egenvärden. Varje egenrum är då endimensionellt.





L19 010 Introduktion till diagonalisering


Videoinnehåll ::

Introduktion till diagonalisering av matriser.





L19 020 Exempel på diagonalisering


Videoinnehåll ::

I ett tidigare exempel beräknades egenvärden och egenvektorer för en \(3\times 3\) matris \(A\). I detta exempel så fortsätter vi med att diagonalisera denna matris.





L19 030 Introduktion till Ortogonal diagonalisering.


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi ortogonal diagonalisering. Detta är diagonalisering där vi konstruerar en diagonaliserande matris som är ortogonal, dvs matrisen \(P\) har egenskapen att \[P^{-1}=P^T.\] När vi ortogonalt diagonaliserar gör vi precis som tidigare med den skillnaden att vi måste hitta en ON-bas för varje egenrum. En matris \(A\) kan ortogonalt diagonaliseras om och bara om \(A\) är symmetrisk (dvs \(A=A^T\)).





L19 040 Exempel på ortogonal diagonalisering.


Videoinnehåll ::

Exempel på ortogonal diagonslisering av en symmetrisk 3x3-matris.





L4-Vektorekvationer


Videoinnehåll ::

Här gås igenom vad en vektorekvation är och hur man tolkar ett vanligt ekvationssytem som en vektorekvation. Nyttan av vektorekvationer är att vi kan förstå vad det innebär att systemet är konsistent och vad det innebär att det är inkonsistent





L4-Homogen Ekvation


Videoinnehåll ::

Vad är ett homogent ekvationssystem? Hur förhåller sig lösningarna för ett inhomogent ekvationssystem till lösningarna för motsvarande homogena system?





L4-Homogent Ekvationssystem Exempellösning


Videoinnehåll ::

Här löser vi ett inhomogent ekvationssystem och dess motsvarande homogena system. Man ser att homogena systemets lösningar finns med i det inhomogena systemets lösningar.





Lösning till Quizz1 uppgift 1


Videoinnehåll ::

Uppgiften är ett exempel på ett konsistent system med många lösningar. För att få fram lösningen på parameterform så identifierar man de ledande elementen och mha dessa de ledande och de fria variablerna. Den fria variabeln blir parametern och denna används så att man skriver de ledande variablerna mha den fria variablerna. Lösningen sammanställs på vektorform vilket är parameterlösningen.





Lösning till Quizz1 uppgift 2


Videoinnehåll ::

Det här är en uppgift med unik lösning. Lösningen fås fram med en rättfram radreduktion, a.k.a. gaussjordanelimination.





Lösning till Quizz1 uppgift 3


Videoinnehåll ::

Här är ett system som är inkonsistent. Värt att notera är hur man identifierar detta, hur man avgör om ett system har lösningar eller saknar lösningar.





introduktion till vektorrum


Videoinnehåll ::

I denna video introduceras begreppet vektorrum.





Funktionsrum är vektorrum, ett exempel


Videoinnehåll ::

I denna video presenteras ett exempel på ett funktionsrum, rummet av kontinuerliga funktioner på intervallet \((0,1)\). Sådana funktionsrum är oändligtdimensionella och studeras i djupare matematikkurser, t.ex. funktionalanalys. I kursen i linjär algebra studerar vi bara ändligtdimensionella vektorrum men poängen med detta exempel är att vektorrumsbegreppet är relevant långt utanför kontexten i denna kurs.





Vad är ett delrum, delvektorrum?


Videoinnehåll ::

Här introducerar vi begreppet delvektorrum, eller delrum som man vanligen säger. En delmängd \(W\) till ett vektorrum \(V\) är ett delrum precis om det är slutet under \(V\)'s addition och multiplikation, vilket kan skrivas som att \[ a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in W \] för alla \(a,b\in\mathbb{R}\) och för alla \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in W\).





Exempel på delrum


Videoinnehåll ::

Här är ett exempel som visar att en rät linje genom origo är ett delrum av \(\mathbb{R}^2\).





Vad är ett vektorrum?


Videoinnehåll ::

I den här videon går vi genom att ett vektorrum är en mängd vektorer som kan adderas med varandra och multipliceras med tal så att ett antal vektorrumsaxiom är uppfyllda





Exempel :: Reella vektorrum och räknereglerna


Videoinnehåll ::

Exempel på vektorrum. Våra vanliga reella n-dimensionella rum är typmodellen för ett vektorrum. Vektorrumsaxiomen är våra vanliga räkneregler.





Exempel: Ett funktionsrum


Videoinnehåll ::

Rummet av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på ett intervall är ett vektorrum. Detta vektorrum skiljer sig från våra vanliga vektorrum eftersom det är oändligtdimensionellt. Sådana funktionsrum är viktiga men studiet av dem ligger en bit utanför denna linjär algebrakurs.





Vad är ett delrum, delvektorrum?


Videoinnehåll ::

Denna video förklarar vad ett delrum/delvektorrum är och att det räcker med att kontrollera att en delmängd \(W\) till ett vektorrum \(V\) är sluten addition och sluten under multiplikation med tal för att \(W\) ska vara ett delrum till \(V\).





Lösning :: Lay (Ed 4) kapitel 2.8 uppgift 1-4


Videoinnehåll ::

De här fyra uppgifterna är nyttiga att arbeta med för att förstå vad ett delrum är eller inte är. Jag har valt att lösa uppgift 1-4 i Lay edition 4. Uppgifterna ser lite annorlunda ut i edition 5, men idéerna i mina lösningar är gångbara för uppgifterna i Edition 5.





Delrum för en matris


Videoinnehåll ::

I denna video förklaras vad radrum, kolonnrum och nollrum är för en matris





Baser till matrisens delrum


Videoinnehåll ::

I denna video lär man sig hur man beräknar baser för delrummen för en matris. Allting kan läsas ut från den Gauss eliminerade matrisen, eller ännu hellre från den Gauss-Jordan eliminerade, reducerade matrisen.





Exempel på mängder som inte är baser


Videoinnehåll ::

Här är några exempel på vektormängder som inte är bas. Antingen är de för många och är beroende. Eller så är de för få och spänner inte upp rummet.





Nollrum är delrum och hur man beräknar en bas


Videoinnehåll ::

Här visas att nollrummet är ett delrum och hur man beräknar en bas för detta delrum.





Span är ett delrum och hur man beräknar en bas för Span.


Videoinnehåll ::

Här visas att span av ett antal vektorer är ett delrum och hur man beräknar en bas för span





Vad är en bas för ett vektorrum


Videoinnehåll ::

I denna video går vi genom vad en bas för ett vektorrum är.





Delrum för en matris, radrum, kolonnrum och nollrum.


Videoinnehåll ::

I denna video förklaras vad radrum, kolonnrum och nollrum är för en matris





Hur man beräknar baser för matrisens delrum.


Videoinnehåll ::

I denna video lär man sig hur man beräknar baser för delrummen för en matris





Verktygslåda för avståndsproblem


Videoinnehåll ::

Här går vi genom de verktyg som vi behöver för att lösa enkla avståndsproblem. Skalärprodukten och projektionsformeln samt kryssprodukten är våra huvudverktyg. Noter beräkningsmetoden av kryssprodukten som är en förenklad variant av Sarrus regel. Man kan naturligtvis använda den determinantberäkningsmetod som man själv är mest bekväm med.





Exempel på förenklade kryssproduktsberäkningar


Videoinnehåll ::

Här använder vi den förenklade Sarrus metoden för att beräkna kryssprodukten av två vektorer.





Kryssproduktberäkning med kofaktorutveckling


Videoinnehåll ::

Här använder vi kofaktorutveckling för att beräkna kryssprodukten.





Avstånd från punkt till plan


Videoinnehåll ::

I den här videon lär vi oss hur man beräknar avståndet från en punkt till ett plan.